برای حل سوال اول:
ابتدا باید چگالی آلومینیوم در دمای \( 100^\circ C \) را پیدا کنیم. چگالی آلومینیوم در دمای \(0^\circ C\) برابر \(2.70 \, \text{g/cm}^3\) است و ضریب انبساط حجمی آلومینیوم (\( \alpha \)) \( 3 \times 23 \times 10^{-6} \, \text{K}^{-1} \) است.
چگالی با انبساط حجمی رابطه معکوس دارد. فرمول تغییر حجم به صورت زیر است:
\[
\Delta V = V_0 \times 3\alpha \times \Delta T
\]
که در آن \( \Delta V \) تغییر حجم و \( V_0 \) حجم اولیه است. برای محاسبه حجم جدید \( V \) داریم:
\[
V = V_0 + \Delta V = V_0 (1 + 3\alpha \Delta T)
\]
چگالی جدید \(\rho\) به صورت زیر محاسبه میشود:
\[
\rho = \frac{\rho_0}{1 + 3\alpha \Delta T}
\]
که \(\rho_0 = 2.70 \, \text{g/cm}^3\)، \(\alpha = 23 \times 10^{-6}\) و \(\Delta T = 100^\circ C\).
با جایگذاری مقادیر:
\[
\rho = \frac{2.70}{1 + 3 \times 23 \times 10^{-6} \times 100}
\]
\[
\rho = \frac{2.70}{1 + 0.0069} = \frac{2.70}{1.0069} \approx 2.681 \, \text{g/cm}^3
\]
بنابراین چگالی آلومینیوم در دمای \(100^\circ C\) تقریباً \(2.681 \, \text{g/cm}^3\) است.
برای سوال دوم:
طول تیرآهنی در دمای \(0^\circ C\) برابر \(12\) متر است. میخواهیم طول آن را در دمای \(50^\circ C\) محاسبه کنیم. با توجه به رابطه زیر:
\[
L = L_0(1 + \alpha \Delta T)
\]
که \( L_0 = 12 \) متر، \(\alpha = 12 \times 10^{-6} \) و \(\Delta T = 50\).
با جایگذاری مقادیر:
\[
L = 12 (1 + 12 \times 10^{-6} \times 50)
\]
\[
L = 12 (1 + 0.0006) = 12 \times 1.0006 = 12.0072 \text{ متر}
\]
بنابراین، طول تیرآهن در دمای \(50^\circ C\) برابر با \(12.0072\) متر خواهد بود.
